Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{{a}^{\;}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上的一点P（x₀，y₀）到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为$\frac{16}{5}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根据双曲线的定义知a，根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，再用平方关系可算出c=，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．

解答 解：根据双曲线的定义知，2a=8，∴a=4，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$两条渐近线的方程为bx-ay=0或bx+ay=0，
点P（x₀，y₀）到两条渐近线的距离之积为$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$×$\frac{|{bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{16}{5}$，
即$\frac{{b}^{2}{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
又已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$右支上的一点P（x₀，y₀），∴${b}^{2}{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}{b}^{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，即$\frac{{16b}^{2}}{16+{b}^{2}}=\frac{16}{5}$，
∴b=2，∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．