Question

8．我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（-3，4），且其法向量为 $\overrightarrow{n}$=（1，-2）的直线方程为1×（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化简得x-2y+11=0．类比上述方法，在空间坐标系O-xyz中，经过点A（1，2，3），且其法向量为$\overrightarrow{n}$=（-1，-1，1）的平面方程为x+y-z=0．

Answer 1

分析 类比根据直线的法向量求直线方程的方法，利用空间向量的数量积，求出法向量为$\overrightarrow{n}$时的平面方程．

解答 解：根据法向量的定义知，当$\overrightarrow{n}$为平面α的法向量时，$\overrightarrow{n}$⊥α，
任取平面α内一点P（x，y，z），则$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{n}$；
∵$\overrightarrow{PA}$=（1-x，2-y，3-z），$\overrightarrow{n}$=（-1，-1，1）；
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{n}$=-1•（1-x）-1•（2-y）+1•（3-z）=0，
化简得x+y-z=0．
故答案为：x+y-z=0．

点评 本题考查了类比推理的应用问题，也考查了空间向量的数量积的应用问题，是基础题目．