Question

13．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-1，n=l，2，3…
（1）求证：数列{a_n-2n}为等比数列：
（2）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的定义即可证明．
（ II）由（I）得${a_n}-2n={2^{n-1}}$，${a_n}={2^{n-1}}+2n$．对n分奇数偶数讨论即可得出．

解答 （I）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n²-3n-1-$[2{a}_{n-1}+（n-1）^{2}-3（n-1）-1]$，
整理得a_n=2a_n-1-2n+4，
∴a_n-2n=2[a_n-1-2（n-1）]，
∴$\frac{{{a_n}-2n}}{{{a_{n-1}}-2（n-1）}}=2$，
∵S₁=2a₁+1-3×1-1，
∴a₁=3，
∴{a_n-2n}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
（ II）解：由（I）得${a_n}-2n={2^{n-1}}$，
∴${a_n}={2^{n-1}}+2n$．
当n为偶数时，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
$\begin{array}{l}=-（1+2×1）-（{2^2}+2×3）-…-[{2^{n-2}}+2（n-1）]+\\（{2^1}+2×2）+（{2^3}+2×4）+…+（{2^{n-1}}+2×n）\end{array}$
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{{1-{2^2}}}-\frac{{1（1-{2^n}）}}{{1-{2^2}}}+n=\frac{1}{3}•（{2^n}-1）+n$；
当n为奇数时，可得${T_n}=-\frac{{{2^{n-1}}+2}}{3}-（n+1）$．
综上，T_n=$-\frac{{{2^{n-1}}}}{3}-n-\frac{5}{3}$，（n为奇数）$\frac{1}{3}（{2^n}-1）+n$，（n为偶数）．

点评 本题考查了递推关系、等比数列与等差数列通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．