Question

4．如图，在四棱锥F-ABCD中，侧面ABF⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，且AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°．O、P分别为AB、CB的中点，M为△OBF的重心．
（1）求证：PM∥平面AFC
（2）求证：平面ADF⊥平面CBF．

Answer 1

分析 （1）由三角形的重心的定义，结合中位线定理和面面平行的判定和性质，即可得证；
（2）过F在平面BCF中作l∥BC，证得l为平面ADF和平面CBF的交线，再由面面垂直的性质定理，可得BC⊥平面ABF，由线面垂直的性质和面面垂直的定义，即可得到．

解答 证明：（1）M为△OBF的重心，连接OM，延长交BF于H，
连接PH，OP，
由PH为△BFC的中位线，即有PH∥CF，
由OP为△ABC的中位线，即有OP∥AC，
即有平面ACF∥平面OHP，
PM?平面OHP，则PM∥平面AFC；
（2）过F在平面BCF中作l∥BC，由AD∥BC，
可得l∥AD，
则平面ADF和平面BCF的交线为l，
侧面ABF⊥底面ABCD，由BC⊥AB，
可得BC⊥平面ABF，即有BC⊥BF，
即有l⊥BF，
同理可得l⊥AF，
则∠AFB为平面ADF和平面CBF所成的角，
在△ABF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}-2AB•AF•cos60°}$
=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有∠AFB=90°，
则平面ADF⊥平面CBF．

点评 本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查空间线面的位置关系，考查运算和推理能力，属于中档题．