Question

3．是否存在实数a，使f（x）=log_a（ax²-x）（a＞0，且a≠1）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据题意，设u（x）=ax²-x，再根据二次函数与对数函数的图象与性质，
对字母系数a进行讨论，求出满足题意的a的取值范围．

解答 解：设u（x）=ax²-x，则二次函数u的对称轴为x=$\frac{1}{2a}$；
①当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，
则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为增函数，
应满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤2}\\{u（2）=4a-2＞0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{1}{2}$；
综上得，a＞1；
②当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，
则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为减函数，
应满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥4}\\{u（4）=16a-4＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈∅；
综上，a＞1时，函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上为增函数．

点评 本题考查了复合函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想、转化思想的应用问题，是综合性题目．