Question

18．△ABC所在平面内有一点O，满足2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，过点O的直线分别交AB，AC于点M，N，且$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，则λ=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 根据M，O，N三点共线，便有$\overrightarrow{MO}=k\overrightarrow{MN}$，从而$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AO}=k（\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}）$，这样带入$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$便可得到，$\overrightarrow{AO}=（1-k）λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$$+\frac{2k}{3}（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$，这样可以解出$\overrightarrow{CO}=\frac{（k-1）λ-\frac{2k}{3}+1}{\frac{2k}{3}}\overrightarrow{OA}$$+\frac{（1-k）λ}{\frac{2k}{3}}\overrightarrow{OC}$，而根据条件知，$\overrightarrow{CO}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，这样便可由平面向量基本定理得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（k-1）λ-\frac{2k}{3}+1}{\frac{2k}{3}}=2}\\{\frac{（1-k）λ}{\frac{2k}{3}}=1}\end{array}\right.$，解该方程即可得出λ的值．

解答 解：如图，M，O，N三点共线，所以：
$\overrightarrow{MO}=k\overrightarrow{MN}$，k∈R；
∴$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AO}=k（\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}）$；
∴$\overrightarrow{AO}=（1-k）\overrightarrow{AM}+k\overrightarrow{AN}$=$（1-k）λ\overrightarrow{AB}+\frac{2k}{3}\overrightarrow{AC}$=$（1-k）λ（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+\frac{2k}{3}（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$[（k-1）λ-\frac{2k}{3}+1]\overrightarrow{OA}$$+（1-k）λ\overrightarrow{OB}+\frac{2k}{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{CO}=\frac{（k-1）λ-\frac{2k}{3}+1}{\frac{2k}{3}}\overrightarrow{OA}+\frac{（1-k）λ}{\frac{2k}{3}}\overrightarrow{OB}$；
又由$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{CO}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（k-1）λ-\frac{2k}{3}+1}{\frac{2k}{3}}=2}\\{\frac{（1-k）λ}{\frac{2k}{3}}=1}\end{array}\right.$；
解得：$k=\frac{3}{8}$，$λ=\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，以及向量加法、减法的几何意义，向量的数乘运算．