Question

13．在如图所示的图形中，每个小四边形都是边长相等的正方形，则向量$\overrightarrow{AG}$=（　　）

• A． $\frac{2}{3}\overrightarrow{EF}+\frac{7}{3}\overrightarrow{DH}$
• B． $\frac{5}{3}\overrightarrow{EF}+\frac{4}{3}\overrightarrow{DH}$
• C． $\frac{8}{3}\overrightarrow{EF}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DH}$
• D． $\frac{10}{3}\overrightarrow{EF}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DH}$

Answer 1

分析 根据图形，及数乘的几何意义，可用向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出图中三个向量：$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$．可设$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{EF}+μ\overrightarrow{DH}$，从而得到$\overrightarrow{AG}=\frac{λ+μ}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{λ-2μ}{3}\overrightarrow{AD}$，根据平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ+μ}{3}=1}\\{\frac{λ-2μ}{3}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，这样解出λ，μ即可用$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{DH}$表示向量$\overrightarrow{AG}$．

解答 解：可用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示图中三个向量：$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{DH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$；
设$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{EF}+μ\overrightarrow{DH}$=$\frac{λ}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）+\frac{μ}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{λ+μ}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{λ-2μ}{3}\overrightarrow{AD}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ+μ}{3}=1}\\{\frac{λ-2μ}{3}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{8}{3}，μ=\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{8}{3}\overrightarrow{EF}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DH}$．
故选：C．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．