Question

6．一化工厂生产某种产品，其生产成本为20元/kg，出厂价为50元/kg，在生产1kg这种产品的同时，还生产1.5m³的污水，污水的处理有两种方式：一种是直接排入河流，另一种是输送到污水处理厂，环保部门对排入河流的污水收费标准是15元/m³，污水处理厂对污水的收费标准是5元/m³，但只能净化污水的80%，未净化的污水仍排入河流，且污水排放费仍要生产产品的化工厂支付，若污水处理厂处理污水的最大能力是1m³/min，环保部门允许该厂的污水排入河流的最大排放量为0.4m³/min，问：该化工厂每分钟生产多少产品，每分钟直接流入河流的污水为多少时，纯利润最高？

Answer 1

分析 设每分钟生产产品x kg，因此产生污水x m³，其中y m³直接排入河流，该化工厂每分钟的纯利润为z，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：设每分钟生产产品x kg，因此产生污水x m³，其中y m³直接排入河流，该化工厂每分钟的纯利润为z，
则即$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{3}{2}-y≤1}\\{y+（\frac{3}{2}x-y）×\frac{1}{5}≤\frac{2}{5}}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤3x-2y≤2}\\{3x+8y≤4}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
目标函数z=（50-20x）-15[y+（$\frac{3}{2}$x-y）$•\frac{1}{5}$]-5（$\frac{3}{2}$x-y）=18x-7y．
由图象可知当直线z=18x-7y经过点B时，z有最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=2}\\{3x+8y=4}\end{array}\right.$得B（$\frac{4}{5}$，$\frac{1}{5}$），
即当x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{1}{5}$时，z取得最大值z=13，
即当每分钟生产0.8kg产品，每分钟直接流入河流的污水为0.2m³时，纯利润最高．

点评 本题主要考查线性规划的应用，设出变量求出目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．