Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的上顶点为A，右焦点为F，直线l与椭圆交于B、C两点，且△ABC的垂心为F．
（1）求直线l的方程；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）A（0，1），F（1，0），则K_AF=-1，利用垂心的性质可得：直线l的斜率为1，设直线l：y=x+b，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由已知BF⊥AC，则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=-1，即x₁x₂+y₁y₂=x₁+y₁=x₁+x₂+b．将y=x+b代入x²+2y²=2中整理得3x²+4bx+2b²-2=0，同理，将x=y-b代入x²+2y²=2中整理得3y²-2by+b²-2=0，y₁y₂=$\frac{b2-2}{3}$．利用根与系数的关系即可得出．
（2）由（1）知x₁+x₂=$\frac{16}{9}$，x₁x₂=$\frac{8}{27}$，利用弦长公式可得：|BC|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{81}$，利用点到直线的距离公式可得A到BC的距离d，利用S=$\frac{1}{2}$d|BC|即可得出．

解答 解：（1）A（0，1），F（1，0），
则K_AF=-1，直线l的斜率为1，
设直线l：y=x+b，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
由已知BF⊥AC，则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=-1，即x₁x₂+y₁y₂=x₁+y₁=x₁+x₂+b．
将y=x+b代入x²+2y²=2中整理得3x²+4bx+2b²-2=0，
则x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$b，x₁x₂=$\frac{2b2-2}{3}$；
同理，将x=y-b代入x²+2y²=2中整理得3y²-2by+b²-2=0，y₁y₂=$\frac{b2-2}{3}$．
∴$\frac{2{b}^{2}-2}{3}$+$\frac{{b}^{2}-2}{3}$=-$\frac{4}{3}$b+b，解得b=-$\frac{4}{3}$或1（舍），
故l的方程为y=x-$\frac{4}{3}$．
（2）由（1）知x₁+x₂=$\frac{16}{9}$，x₁x₂=$\frac{8}{27}$，
∴|BC|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（x1+x2）2-4x1x2}$=$\frac{4\sqrt{5}}{81}$，
d=$\frac{|0-3-4|}{\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
∴S=$\frac{1}{2}$d|BC|=$\frac{1}{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{6}$×$\frac{4\sqrt{5}}{81}$=$\frac{7\sqrt{10}}{243}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．