Question

用数学归纳法证明等式：

12

1×3

+

22

3×5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n2+n

4n+2

对于一切n∈N₊都成立．

Answer 1

分析：先证明n=1时成立，再假设n=k时成立，进而，利用假设证明n=k+1时等式也成立．

解答：证明：（1）当n=1时，左边=

1

3

，右边=

12+1

4+2

=

1

3

，等式成立．
（2）假设n=k时，等式成立，即

12

1×3

+

22

3×5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k2+k

4k+2

，
那么n=k+1时，

12

1×3

+

22

3×5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+3)(2k+1)

=

k2+k

4k+2

+

(k+1)2

(2k+3)(2k+1)

=

k(k+1)(2k+3)+2(k+1)2

2(2k+3)(2k+1)

=

(2k+1)(k+1)(k+2)

2(2k+3)(2k+1)

=

(k+1)2+(k+1)

4(k+1)+2

，
即n=k+1时，等式成立．
由（1）（2）可知，等式：

12

1×3

+

22

3×5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n2+n

4n+2

对于一切n∈N₊都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．