Question

设i是虚数单位，已知复数z₁=2cosα-2isinα，z₂=3cosβ+3isinβ，|z₁-z₂|=

5

．
（Ⅰ）求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）若0＜α，β＜

π

2

，且sinβ=

5

5

，求sinα的值．

Answer 1

考点：复数求模,三角函数中的恒等变换应用

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）首先，根据已知条件，得到z₁-z₂=（2cosα-3cosβ）-（2sinα+3sinβ）i，然后，结合复数的模的计算公式，建立等式求解即可；
（Ⅱ）首先，根据（Ⅰ），求解得到sin（α+β）=

5

3

，然后，根据sinα=sin[（α+β）-β]，进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵z₁=2cosα-2isinα，z₂=3cosβ+3isinβ，
∴z₁-z₂=（2cosα-3cosβ）-（2sinα+3sinβ）i
∴|z₁-z₂|=

(2cosα-3cosβ)2+(2sinα+3sinβ)2

，
=

13-12cos(α+β)

=

5

，
两边平方，得cos（α+β）=

2

3

，
∴cos（α+β）的值

2

3

；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得cos（α+β）=

2

3

．
又∵0＜α，β＜

π

2

，
∴sin（α+β）=

1-cos(α+β)2

=

5

3

，
又∵sinβ=

5

5

，
∴cosβ=

1-sin2β

=

2 5

5

，
∴sinα=sin[（α+β）-β]
=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=

5

3

×

2 5

5

-

2

3

×

5

5

=

10-2 5

15

．
∴sinα的值

10-2 5

15

．

点评：本题重点考查了复数的坐标运算、复数的模的运算、三角恒等变换、三角公式等知识，属于中档题，解题关键是正确运用和理解复数的模的计算公式，其次，需要注意角度的灵活拆分，这是高考的热点也是难点问题．