Question

已知直线l的参数方程为

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t²-t-1=0，由根与系数的关系，求出

1

|PA|

+

1

|PB|

=

|t1-t2|

|t1t2|

的值．

解答： 解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t为参数）化为普通方程是

3

x-y+1=0，
利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2

2

sin（θ+

π

4

）化为
ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴普通方程是x²+y²=2y+2x，
即（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，
把直线l的参数方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

代入曲线C的普通方程（x-1）²+（y-1）²=2中，
得t²-t-1=0，
∴

t1•t2=-1 t1+t2=1

；
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

|t1|

+

1

|t2|

=

|t1-t2|

|t1t2|

=

(t1+t2)2-4t1t2

=

12-4×(-1)

=

5

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．