Question

 [2012·全国卷] 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

图1－1

Answer 1

解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，

PA＝2，PE＝2EC，故

PC＝2，EC＝，FC＝，

从而＝，＝.

因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以

△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，

由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.

(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．

因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.

又平面PAB∩平面PBC＝PB，

故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.

设D到平面PBC的距离为d.

因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.

设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.

所以PD与平面PBC所成的角为30°.

方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.

设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．

于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，

·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.

又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.

(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．

设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，m·＝0，

即2z＝0且x－by＝0，

令x＝b，则m＝(b，，0)．

设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则

n·＝0，n·＝0，

即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，

令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.

因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，

cos〈n，〉＝＝，

〈n，〉＝60°.

因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，

故PD与平面PBC所成的角为30°.

G6  三垂线定理