Question

椭圆中心在原点，离心率为

1

2

，点P（x，y）是椭圆上的点，若2x-

3

y的最大值为10，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：根据离心率的到a与c的关系又由b²+c²=a²得到b与c的关系设出椭圆的标准方程，进而得到其参数方程，利用参数表示2x-

3

y的最大值，由题意求出c的值．

解答：解：离心率为

c

a

=

1

2

，即a=2c
又∵b²+c²=a²
∴a²=4c²，b²=3c²
∴设椭圆标准方程是

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
它的参数方程为

x=2ccosθ y= 3 csinθ

（θ是参数）
2x+

3

y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ）
∴2x+

3

y的最大值是5c，
依题意5c=10，c=2，
∴椭圆的标准方程是

x2

16

+

y2

12

=1

点评：熟练掌握椭圆的有关数值，灵活应用标准方程与参数方程解决相关问题．