Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ ax2﹣2bx
（1）设点a=﹣3，b=1，求f（x）的最大值；
（2）当a=0，b=﹣ 时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣3，b=1时，f（x）=lnx﹣ x2﹣2x，

f′（x）= ﹣3x﹣2，f″（x）=﹣ ﹣3＜0，

∴f′（x）在（0，+∞）递减，

而f′（ ）=0，

∴f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，

∴f（x）max=f（ ）=﹣ln3﹣

（2）解：∵方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，

设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则g′（x）= ．

令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．

∵m＞0，x＞0，

∴x1= ＜0（舍去），x2= ．

当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增．

∴g（x）最小值为g（x2）．

则 ，即 ，

∴2mlnx2+mx2﹣m=0即2lnx2+x2﹣1=0．

设h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），h′（x）= +1＞0恒成立，

故h（x）在（0，+∞）单调递增，h（x）=0至多有一解．

又h（1）=0，

∴x2=1，

即 =1，解得m=

【解析】（1）a=﹣3，b=1，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，利用导数可得其最小值为g（x2）．则 ，即2lnx2+x2﹣1=0．设h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），再利用导数研究其单调性即可得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．