Question

直线y=kx与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈（-1，1），且该双曲线与直线y=

1

2

x-

3

2

相交所得弦长为

4 15

3

，则该双曲线方程为

 

．

Answer 1

分析：直线y=kx与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈（-1，1），可得

b

a

=1．设双曲线的方程为x²-y²=m．与直线方程联立，利用弦长公式即可得出m．

解答：解：∵直线y=kx与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈（-1，1），
∴

b

a

=1．
设双曲线的方程为x²-y²=m．
联立

x-2y-3=0 x2-y2=m

，化为3y²+12y+9-m=0．
∵直线与双曲线有两个交点，∴△=12²-12（9-m）＞0，解得m＞-3．
∴y₁+y₂=-4，y1y2=3-

m

3

．
∴

(1+4)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

5[42-4×(3- m 3 )]

=

4 15

3

，
化为m=1．满足△＞0．
因此双曲线的方程为：x²-y²=1．
故答案为：x²-y²=1．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．