Question

设函数f（x）=（ax-1）e^x+（1-a）x+1．
（I）证明：当a=0时，f（x）≤0；
（II）设当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

（I）证明：当a=0时，f（x）=-e^x+x+1，则f′（x）=-e^x+1
令f′（x）=0，可得x=0
令f′（x）＜0，可得x＜0，令f′（x）＞0，可得x＞0
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减
∴f（x）_max=f（0）=0
∴f（x）≤0；
（II）f′（x）=-（ax+a-1）e^x+1-a，f（0）=f′（0）=0，
设g（x）=f′（x），则g′（x）=（ax+2a-1）e^x，
①a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵f′（0）=0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）＜f（0）=0与已知矛盾；
②当0＜a＜，x∈（0，）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，）上为减函数，此时f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上为减函数，∴f（x）＜f（0）=0与已知矛盾；
③当a≥，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，即f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f′（x）≥f′（0）=0
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，不等式成立
综上，a≥．
分析：（I）求导数，确定函数的单调性，求得函数的最大值，即可证得结论；
（II）f′（x）=-（ax+a-1）e^x+1-a，f（0）=f′（0）=0，设g（x）=f′（x），则g′（x）=（ax+2a-1）e^x，分类讨论，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．