Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]，f（x）=x²-2^x，则函数f（x）的在[0，2014]上的零点个数是

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：根据y=x² 与 y=2^x 的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（-1，0]区间有一个交点，f（x）=x²-2^x=16无根，可得x∈（-1，4]时，f（x）=x²-2^x有3个零点，且x∈（-6，-1]时，f（x）=x²-2^x无零点，进而分析出函数的周期性，分段讨论后，综合讨论结果可得答案．

解答： 解：y=x² 与 y=2^x 的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（-1，0]区间有一个交点，
但当x∈（-1，4]时，f（x）=x²-2^x=16无根
即当x∈（-1，4]时，f（x）=x²-2^x有3个零点
由f（x）+f（x+5）=16，
即当x∈（-6，-1]时，f（x）=x²-2^x无零点
又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，
在x∈[0，2014]，分为二段x∈[0，4]，x∈（4，2014]，
在x∈[0，4]函数有两个零点，
在x∈（4，2004]有201个完整周期，即有603个零点，
综上函数f（x）在[0，2014]上的零点个数是605．
故答案为：605

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点，其中熟练掌握对数函数和二次函数的图象和性质，分析出一个周期上函数的零点个数是解答的关键．