Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，a∈R．
（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x³+3x²-4，f?（x）=-3x²+6x=-3x（x-2）．
当x变化时，f?（x）、f（x）在区间的变化如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f?（x）		-	0	+
f（x）	0	↘	极小值-4	↗	-2

所以f（x）在区间上的最大值为f（-1）=0，最小值为f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f?（x）=-3x²+2ax=-3x（x-

2a

3

）．
若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f?（x）＜0，此时f（x）单调递减，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使题设成立的x₀．
若a＞0，则当x∈（0，

2a

3

）时，f?（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x∈（

2a

3

，+∞）时，f?（x）＜0，此时f（x）单调递减．f（x）在（0，+∞）的最大值为f（

2a

3

）=

4a3

27

-4．所以题设的x₀存在当且仅当

4a3

27

-4＞0，解得a＞3．
综上，使题设成立的a的取值范围是（3，+∞）．