Question

试用两种方法证明：
（1）

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

=2n(n∈N*)；
（2）

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

=n2n-1(n∈N*且n≥2)．

Answer 1

分析：（1）方法1：在等式(1+x)n=1+

C

1 n

x+…+

C

n n

xn(n∈N*)中，令x=1，可得

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

=2n(n∈N*)成立．方法2：用数学归纳法进行证明．
（2）方法1：根据组合数的计算公式可得 k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

，所以，

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+…+

C

n-1 n-1

）=n2^n-1．
方法2：由 （1+x）ⁿ=1+

C

1 n

x+

C

2 n

x²+…+

C

n n

xⁿ （n≥2，且 n∈N^*），对等式两边求导，再令x=1，可得

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

=n2n-1(n∈N*且n≥2)．

解答：（1）证明：方法1：由(1+x)n=1+

C

1 n

x+…+

C

n n

xn(n∈N*)
令x=1，得

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

=2n(n∈N*)．…（3分）
方法2：数学归纳法：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k时，

C

0 k

+

C

1 k

+…+

C

k k

=2k(k∈N*)，
则当n=k+1时，由

C

0 k+1

=C

0 k

，

C

r k+1

=

C

r-1 k

+

C

r k

，

C

k+1 k+1

=

C

k k

，
所以，

C

0 k+1

+

C

1 k+1

+

C

2 k+1

+…+

C

k+1 k+1

=

C

0 k

+（

C

0 k

+C

1 k

）+（

C

1 k

+C

2 k

）+…+（

C

k-1 k

+C

k k

）+

C

k k

=2（

C

0 k

+C

1 k

+…+

C

k-1 k

+C

k k

=2•2^k=2^k+1，
由①②，等式对于任意n∈N^*恒成立．…（7分）
（2）方法1：由于k

C

k n

=k

n!

k!(n-k)!

=

n!

(n-k)!(k-1)!

，n

C

k-1 n-1

=n

(n-1)!

(n-k)!(k-1)!

=

n!

(n-k)!(k-1)!

，
∴k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

，…（9分）
所以，

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

=n

C

0 n-1

+n

C

1 n-1

+…+n

C

n-1 n-1

=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+…+

C

n-1 n-1

 ）=n2^n-1．…（11分）
方法2：由 （1+x）ⁿ=1+

C

1 n

x+

C

2 n

x²+…+

C

n n

xⁿ （n≥2，且 n∈N^*），
两边求导，得 n（1+x）^n-1=1+2

C

2 n

x+3

C

3 n

•x²+…+n

C

n n

x^n-1，…（14分）
令x=1，得

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

=n2n-1(n∈N*且n≥2)．…（15分）

点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式、用数学归纳法证明等式，属于中档题．