Question

已知a＞0，函数f（x）=x³-a，x∈[0，+∞），设x₁＞0，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线l．
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴的交点是（x₂，0），证明x2≥a

1

3

．

Answer 1

分析：（1）欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
（2）先在直线的方程中令y=0得到的x₂值，欲证明x2≥a

1

3

．利用作差比较法即可．即利用因式分解的方法证x₂-a

1

3

≥0即可．

解答：解：（1）解：f'（x）=3x²（x＞0）．∵切线l经过曲线f（x）=x³-a上的点M（x₁，f（x₁）），
又∵切线l的斜率为k=f'（x₁）=3x₁²．
据点斜式，得y-f（x₁）=f'（x₁）（x-x₁），
整理，得y=3x₁²•x-2x₁²-a，x₁＞0．
因此直线l的方程为y=3x₁²x-2x₁³-a（x₁＞0）；
（2）证明：∵l与x轴交点为（x₂，0），∴3x₁²x₂-2x₁²-a=0，∵x₁＞0，a＞0，
∴x2=

1

3

(2x1+

a

x 2 1

)．
由于x2-a

1

3

=

1

3 x 2 1

(2

x

3 1

+a-3

x

2 1

•a

1

3

)=

1

3 x 2 1

(x1-a

1

3

)2(2x1+a

1

3

)，
且x₁＞0，a＞0，∴2x1+a

1

3

＞0．
又(x1-a

1

3

)2≥0，∴x2-a

1

3

≥0，
当且仅当x1=a

1

3

，上式取“=”号．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．