Question

椭圆的中心在原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，

|CD|

|AB|

=2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点O，F₁，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（Ⅲ）求

F2A

•

F2B

的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）又抛物线方程求椭圆中c的值，再根据椭圆与抛物线的通径比求出a，b关系式，椭圆方程可解．
（Ⅱ）由圆过点O，F₁可得圆心横坐标值，再根据圆与椭圆的左准线相切，可求出半径．
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程与椭圆方程联立，得x₁x₂与x₁+x₂，再代入

F2A

•

F2B

，化简，即可得到关于k的式子，其范围也就是

F2A

•

F2B

的范围．进而求出最值．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，∴c=1
∵过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，∴AB为椭圆通径，CD为抛物线通经，
∵

|CD|

|AB|

=2

2

，∴

4

2b2 a

=2

2

，b²=

2

2

a，∵a²=b²+c²，得a=

2

，b=1，∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）∵所求圆过点O，F₁，可设坐标为（-

1

2

，n），∵圆与椭圆的左准线相切，∴半径r=-

1

2

-（-2）=

3

2

∴

(- 1 2 )2+ n2

=

3

2

，n=

2

，∴所求圆方程为(x+

1

2

)2+(y-

2

)2=

9

4

．
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得，

x2

2

+ k2(x+1)2=1
∴x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，x₁+x2=

-4k2

1+2k2

..

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

--

9 2

1+2k2

∵k²∈[0，+∞），∴

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

）
②当直线l斜率不存在时，可得啊（-1，

2

2

）B（-1，-

2

2

），此时，

F2A

•

F2B

=

7

2

．
综上，

F2A

•

F2B

∈[1，

7

2

]．∴

F2A

•

F2B

最大值为

7

2

，最小值为-1．

点评：本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合应用，属常规题，应当掌握解法．