Question

（2011•昌平区二模）已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为

3

2

，若函数g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+m]，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间）；
（II）对函数进行求导，令导函数等于0在区间（1，3）上有解，然后建立关系式，解之即可．

解答：解：（Ⅰ） f′(x)=

a(1-2x)

x

(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，

1

2

]，减区间为[

1

2

，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[

1

2

，+∞），减区间为（0，

1

2

]；
（II）f′(2)=

a(1-2×2)

2

=

3

2

∴a=-1
∴f（x）=-lnx+2x+3
g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+m]
=

1

3

x3+（m+2）x²-x
g'（x）=x²+2（m+2）x-1
函数g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+m]，在区间（1，3）上不是单调函数，
∴g'（x）=x²+2（m+2）x-1=0在（1，3）上有解
则

g′(1)＜0 g′(3)＞0

解得-

10

3

＜m＜-2
∴m的取值范围为（-

10

3

，-2）．

点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，在区间（a，b）上存在极值，则在区间（a，b）上不单调，属于中档题．