【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,若
且
有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,
在
上是增函数;当
时,
在
,
上是增函数,在
上是减函数.(2)
【解析】
(1)求定义域以及导数,对参数进行分类讨论,求解对应情况下的单调性即可;
(2)由(1)中所得,可知的解析式,根据
的单调性,将零点问题转化为图像相交的问题,数形结合,求解参数范围.
(1)的定义域为
,
,
,
对于,
,
当时,
,
则在
上是增函数.
当时,
对于,有
,则
在
上是增函数.
当时,
令,得
或
,
令,得
,
所以在
,
上是增函数,
在上是减函数.
综上,当时,
在
上是增函数;
当时,
在
,
上是增函数,
在上是减函数.
(2)由已知可得,
因为,所以
,而
,所以
,
所以,所以
在
上单调递增.
所以.
故有两个零点,等价于
=
在
内有两个零点.
等价于有两根,
显然不是方程的根,
因此原方程可化为,
设,
,
由解得
,或
由解得
,
故在
上单调递减,在
上单调递增.
其图像如下所示:
所以,
所以,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】手机等数码产品中的存储器核心部件是闪存芯片,闪存芯片有两个独立的性能指标:数据传输速度和使用寿命,数据传输速度的单位是,使用寿命指的是完全擦写的次数(单位:万次).某闪存芯片制造厂为了解产品情况,从一批闪存芯片中随机抽取了100件作为样本进行性能测试,测试数据经过整理得到如下的频率分布直方图(每个分组区间均为左闭右开),其中
,
,
成等差数列且
.
(1)估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数.
(2)估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数.(每组数据以中间值为代表)
(3)规定数据传输速度不低于为优,使用寿命不低于10万次为优,且两项指标均为优的闪存芯片为
级产品,仅有一项为优的为
级产品,没有优的为
级产品.现已知样本中有45件
级产品,用样本中不同级别产品的频率代替每件产品为相应级别的概率,从这一批产品中任意抽取4件,求其中至少有2件
级产品的概率.
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【题目】已知椭圆的焦距为2,过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为,定点
,过点
且斜率不为零的直线
与椭圆交于
,
两点,以线段
为直径的圆与直线
的另一个交点为
,试探究在
轴上是否存在一定点
,使直线
恒过该定点,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知,
为椭圆
的左、右顶点,
为其右焦点,
是椭圆
上异于
,
的动点,且
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)直线与椭圆在点
处的切线交于点
,当点
在椭圆上运动时,求证:以
为直径的圆与直线
恒相切.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的坐标方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数,
).
(1)求直线的直角坐标方程及曲线
的普通方程;
(2)直线和曲线
相交于点
,
,设相交弦的长度为
,求
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系
下的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是
,射线
:
与曲线
交于点
与直线
交于点
,求线段
的长.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
为参数且
,
,
,曲线
的参数方程为
为参数),以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程及
的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线
分别交于点
,
,求
的最大值.
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【题目】如图①:在平行四边形中,
,
,将
沿对角线
折起,使
,连结
,得到如图②所示三棱锥
.
(1)证明:平面
;
(2)若,二面角
的平面角的正切值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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