精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数 $数学公式$ ，其中a，b为实数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=4，且f（-1）=-2，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间，并用定义加以证明；
（3）在（2）的条件下，求函数f（x）在 $数学公式$ 上的最大值和最小值．

解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}．
f（-x）+f（x）=（-x- $\text{[math]}$ +b）+（x+ $\text{[math]}$ +b）=2b，
只有当b=0时f（x）为奇函数；
（2）由f（1）=4，f（-1）=-2，可得 $\text{[math]}$ ，解得a=2，b=1．
则f（x）=x+ $\text{[math]}$ +1，f′（x）=1- $\text{[math]}$ ，令f′（x）＞0解得x＞ $\text{[math]}$ ，令f′（x）＜0解得0＜x＜ $\text{[math]}$ ，
所以f（x）的增区间是（ $\text{[math]}$ ，+∞），减区间是（0， $\text{[math]}$ ）；
设 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＞0，x₁x₂＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）是（ $\text{[math]}$ ，+∞）上的增函数；
设0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ ，则f（x₁）-f（x₂）=（ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
因为0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ ，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂-20，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以f（x）是（0， $\text{[math]}$ ）上的增函数．
（3）由（2）知：f（x）在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上递减，在[ $\text{[math]}$ ，3]上递增，
所以f（x）的最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ +1，
又f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，f（3）= $\text{[math]}$ ，
所以f（x）的最大值为f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用奇偶性的定义即可判断，注意考虑参数；
（2）由f（1）=4，且f（-1）=-2可求得a，b值，从而求得f（x），利用导数可求得其单调区间，然后用定义证明即可；
（3）由（2）可知f（x）在 $\text{[math]}$ 上的单调性，据单调性即可求得其最值；
点评：本题考查函数奇偶性、单调性及其应用，考查函数在闭区间上的最值，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>