Question

已知

i

，

j

，

k

为两两垂直的单位向量，非零向量

a

=a1

i

+a2

j

+a3

k

（a₁，a₂，a₃∈R），若向量

a

与向量

i

，

j

，

k

的夹角分别为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=

1

．

Answer 1

分析：由题意可得，

i

•

j

=

i

•

k

=

j

•

k

=0且|

i

|=|

j

|=|

k

|=1，代入向量的夹角公式可求cosα=

a • i

| a || i |

=

a1

a12+a22+a32

，同理可求，cosβ，cosγ，代入即可求解

解答：解：由题意可得，

i

•

j

=

i

•

k

=

j

•

k

=0且|

i

|=|

j

|=|

k

|=1
∵

a

=a1

i

+a2

j

+a3

k

∴

a

•

i

=a₁，

a

•

j

=a₂，

a

•

k

=a₃，|

a

|=

(a1 i +a2 j +a3 k )2

∴cosα=

a • i

| a || i |

=

a1

a12+a22+a32

同理可得，cosβ=

a2

a12+a22+a32

cosγ=

a3

a12+a22+a32

∴cos²α+cos²β+cos²γ=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了向量的数量积的运算，向量的夹角公式的应用，属于公式的简单应用