Question

（2008•河西区三模）如图，已知三棱锥P-ABC，A₁，B₁，C₁分别在棱PA、PB、PC上，且面A₁B₁C₁∥面ABC，又面AB₁C⊥面ABC．△AB₁C为边长是4的等边三角形，∠ACB=90°，BC=2．
（1）求证：B₁C₁⊥AB₁；
（2）求点A到平面PBC的距离；
（3）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由面面垂直的性质定理可得BC⊥面ABC₁，进而BC⊥AB₁，由面面平行的性质定理可得B₁C₁∥BC，最后可得B₁C₁⊥AB₁；
（2）过A作AD⊥B₁C于D，可证得AD⊥面PBC，即AD长即为点A到面PBC的距离，解三角形AB₁C，可得答案．
（3）过D点DM⊥PB于M，连AM，由三垂线定理知AM⊥PB，即∠AMD是二面角A-PB-C的平面角，解Rt△AMD可得答案．

解答：证明：（1）∵面AB₁C⊥面ABC，面AB₁C∩面ABC=AC，BC⊥AC
∴BC⊥面ABC₁（2分）
∴BC⊥AB₁
又∵面A₁B₁C₁∥面ABC
面PBC∩面A₁B₁C₁=B₁C₁，面PBC∩面ABC=BC
∴B₁C₁∥BC
∴B₁C₁⊥AB₁（4分）
解：（2）过A作AD⊥B₁C于D
∴△AB₁C为等边三角形
∴D为B₁C的中点
又∵BC⊥平面AB₁C，AD?平面AB₁C，
∴BC⊥AD
又∵B₁C∩BC=C，B₁C，BC?面B₁BC
∴AD⊥面B₁BC
即AD⊥面PBC
∴AD长即为点A到面PBC的距离（6分）
在正三角形AB₁C中，AC=4
∴AD=

3

2

AC=2

3

（8分）
（3）过D点DM⊥PB于M，连AM，由三垂线定理知AM⊥PB
∴∠AMD是二面角A-PB-C的平面角（10分）
在Rt△AMD中，AD=2

3

△B₁DM∽△B₁BC
∴

DM

BC

=

B1D

B1B

又B1B=

BC2+B1C2

=2

5

∴DM=

BC•B1D

B1B

=

2×2

2 5

=

2

5

∴tan∠AMD=

AD

DM

=

15

∴二面角A-PB-C的大小为arctan

15

（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的转化，是空间立体几何的综合应用，难度中档．