Question

（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱,,底面为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O为AD中点.

(1)求直线与平面所成角的余弦值;
(2)求点到平面的距离
(3)线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1) ；（2）；（3）存在，且。

本试题主要是考查了立体几何中线面角的求解，二面角的问题，以及点到面的距离。
（1）先确定出平面的垂线，然后利用已知的关系式来得到线面角的表示，进而求解。
(2)利用等体积法得到点到面的距离。
(3)建立空间直角坐标系，进而表示平面的法向量，利用向量与向量的夹角，得到二面角的平面角。
解:(1) 在△PAD中PA=PD, O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形中,易得;所以以为坐标原点,为轴,为
轴,为轴建立空间直角坐标系.
则,,，;
,易证:,所以平面的法向量,

所以与平面所成角的余弦值为；        ……………………………….4分
（2），设平面PDC的法向量为，
则，取得
点到平面的距离……………….8分
（3）假设存在，则设，
因为，，
所以，
设平面的法向量为，则
取，得
平面的有一个法向量为
因为二面角的余弦值为，所以
得到得或(舍)
所以存在，且                            ………………… 13分