Question

（2012•天津模拟）设y=f（x）在（-∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fk(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，给出函数f（x）=2^x+1-4^x，若对于任意x∈（-∞，1]，恒有f_k（x）=f（x），则（　　）

A．K的最大值为0

B．K的最小值为0

C．K的最大值为1

D．K的最小值为1

Answer 1

分析：由已知条件可得，k≥f（x）在（-∞，1]恒成立，即k≥f（x）_max，结合指数函数与二次函数的性质可求函数f（x）的最大值，从而可求

解答：解：因为对于任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_k（x）=f（x），
由已知条件可得，k≥f（x）在（-∞，1]恒成立
∴k≥f（x）_max
∵f（x）=2^x+1-4^x，=2•2^x-2^2x，x∈（-∞，1]，令t=2^x，t∈（0，2]
则f（t）=2t-t²=-（t-1）²+1，t∈（0，2]
∴在t∈（0，2]上的最大值为f（1）=1
∴k≥1 即k的最小值为1
故选D

点评：本题以新定义为载体，主要考查了阅读、转化的能力，解决本题的关键是利用已知定义转化为函数的恒成立问题，结合二次函数的性质可进行求解．