Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=a₂=1，且a_n+2=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+a_n（n=1，2，3…）求a₂₀₀₄．

Answer 1

分析 把原递推式变形，可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，然后利用累积法求得a₂₀₀₄．

解答 解：由原式可得a_n+2a_n+1-a_n+1a_n=1，
令b_n=a_n+1a_n，则b₁=a₂a₁=1，
故b_n=n，即a_n+1a_n=n，而a_n+2a_n+1=n+1，
故$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，
${a}_{2004}=\frac{2003}{2002}{a}_{2002}=\frac{2003}{2002}•\frac{2001}{2000}•{a}_{2000}$=…=$\frac{2003}{2002}•\frac{2001}{2000}•\frac{1999}{1998}…\frac{3}{2}•{a}_{2}$
=$\frac{2003•2001•1999…3•1}{2002•2000•1998…2}$=$\frac{2003•2001•1999…3•1•2002•2000•1998…2}{（2002•2000•1998…2）^{2}}$
=$\frac{2003!}{（2002•2000•1998…2）^{2}}$=$\frac{2003!}{[{2}^{1001}•（1001•1000•999…1）]^{2}}$
=$\frac{2003!}{{2}^{2002}•（1001!）^{2}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，考查灵活变形能力，是中档题．