Question

9．设x+y²=${∫}_{0}^{y-x}$cos²tdt，求$\frac{dy}{dx}$．

Answer 1

分析 先根据定积分运算法则，化简得到x+y²=$\frac{1}{2}$（y-x）+$\frac{1}{4}$sin2（y-x），利用隐函数导数的运算性质即可得出．

解答 解：设x+y²=${∫}_{0}^{y-x}$cos²tdt=${∫}_{0}^{y-x}$$\frac{1}{2}$（1+cos2t）dt=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{2}$sin2t）|${\;}_{0}^{y-x}$=$\frac{1}{2}$（y-x+$\frac{1}{2}$sin（2y-2x））=$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$sin（2y-2x），
∴x+y²=$\frac{1}{2}$（y-x）+$\frac{1}{4}$sin2（y-x），
∴d（x+y²）=$\frac{1}{2}$d（y-x）+$\frac{1}{4}$dsin（2y-2x），
∴dx+2dy=$\frac{1}{2}$dy-$\frac{1}{2}$dx+$\frac{1}{4}$×2cos（2y-2x）d（y-x），
∴dx+2dy=$\frac{1}{2}$dy-$\frac{1}{2}$dx+$\frac{1}{2}$cos（2y-2x）（dy-dx），
∴$\frac{dy}{dx}$=$\frac{3+cos（2y-2x）}{cos（2y-2x）+1-4y}$．

点评 本题考查了定积分的计算和隐函数导数的运算性质，属于中档题．