Question

4．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-{cos}^{2}x+\frac{1}{2}$．
（1）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的取值范围；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$ 个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，根据正弦函数的图象和性质可求f（x）的取值范围．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-{cos}^{2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
∴函数f（x）的取值范围为：[-$\frac{1}{2}$，1]…6分
（2）∵g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z…12分

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．