Question

已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax²+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B；
（2）设A₁，B₁是A，B两点在x轴上的射影，求线段A₁B₁长的取值范围；
（3）求证：当x≤-

3

时，f（x）＜g（x）恒成立．

Answer 1

分析：（1）若a＞b＞c，且a+c+b=0，可得a＞0＞c，令G（x）=f（x）-g（x）=0，判断判别式△=（b-a）²-4ac＞0即可
（2））由设 A（x₁，0），B（x₂，0）根据方程根与系数的关系可得，AB=|x2-x1|=

(x2+x1)2-4x1x2

，结合a+b+c=0，a＞0＞c进行判断．
（3）要证当x≤-

3

时，f（x）＜g（x）恒成立，即要证ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，构造函数h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，利用二次函数的有关知识即可证得结果．

解答：解：（1）证明：由

y=ax+b y=ax2+bx+c

得ax²+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有两个不等的根
∴函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴

c

a

＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴

c

a

＜-

1

2

．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
设A₁（x₁，0）B₁（x₂，0）
∴|A₁B₁|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c-b a

=

( c a -2) 2-4

，
易得

9

4

＜|A₁B₁|²＜12
即

3

2

＜|A₁B₁|＜2

3

．
（3）令h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，
对称轴为x=

a-b

2a

=

2a+c

2a

=1+

c

2a

＞0，
∴h（x）在（-∞，-

3

]上单调递增，且h（-

3

）=（2+

3

）（2a+c）=（2+

3

）a（2+

c

a

）＞0
∴h（x）=ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，
即当x≤-

3

时，f（x）＜g（x）恒成立．

点评：此题是个中档题．本题的考点是二次函数的性质，考查综合利用二次函数相关知识证明问题的能力，本题在解题中技巧性很强，如（1）中消去参数b利于确定判别式的范围，（2）中灵活运用a＞b＞c且a+b+c=0来确定

c

a

的范围，此类技巧的运用需要平时经验的积累，以及数学素养的提高，题后应对这些变形的技巧的变形过程及变形后达到目标进行细致的分析，力争能把握此类技巧的使用．考查函数与方程 的转化，方程的根与系数的关系，函数的图象与x轴相交的线段的长度的求解，知识比较多，是一道综合性比较好的试题，体现了函数、方程、不等式的相互转化．