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    利用通项求和，求1+11+111+…+
    111…1
    n个1
    之和．
    分析：由于
    111…1
    n个1
    =
    1
    9
    ×
    999…9
    n个
    =
    10n-1
    9
    ，然后利用分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解
    解答：解：由于
    111…1
    n个1
    =
    1
    9
    ×
    999…9
    n个
    =
    10n-1
    9
                           
    ∴1+11+111+…+
    111…1
    n个1
    =
    1
    9
    [(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)]

    =
    1
    9
    (10+102+…+10n)-
    n
    9

    =
    1
    9
    •
    10(1-10n)
    1-10
    -
    n
    9

    =
    10n+1-9n-10
    81
    点评：本题主要考查了数列的求和及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是寻求数列的项的规律
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    科目：高中数学 来源：2014届四川省高一下学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知正项数列的前n项和满足：，

    （1）求数列的通项和前n项和；

    （2）求数列的前n项和；

    （3）证明：不等式  对任意的，都成立．

    【解析】第一问中，由于所以

    两式作差，然后得到

    从而得到结论

    第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

    第三问中，

    又

           

    结合放缩法得到。

    解：（1）∵     ∴

          ∴

          ∴   ∴  ………2分

          又∵正项数列，∴           ∴ 

    又n=1时，

    ∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

    ∴                             …………………4分

    ∴                   …………………5分 

    （2）       …………………6分

        ∴

                              …………………9分

    （3）

          …………………12分

    又

            ，

       ∴不等式  对任意的，都成立．

     

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    利用通项求和，求1+11+111+…+
    111…1
    n个1
    之和．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年福建省厦门二中高二（上）数学专题训练：数列求和（文科）（解析版） 题型：解答题

    利用通项求和，求1+11+111+…+之和．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三第五次质量检测文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q,且b2+ S2=12，.（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设数列{cn}满足，求{cn}的前n项和Tn.

    【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用。第一问中，利用等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q,且b2+ S2=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通项公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.     第二问中，，由第一问中知道，然后利用裂项求和得到Tn.

    解： (Ⅰ) 设：{an}的公差为d,

    因为解得q=3或q=-4(舍),d=3.

    故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1.                       ………6分

    (Ⅱ)因为……………8分

     

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