Question

已知函数f（x）=px²+qx+r（p≠0，p＜r），满足f（0）＜0且f（-

q

2p

）＞0，设△ABC的三个内角分别为A、B、C，tanA，tanB为函数f（x）的两个零点，则△ABC一定是（　　）

• A、锐角三角形
• B、直角三角形
• C、钝角三角形
• D、不确定

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：计算题,函数的性质及应用,解三角形

分析：f（0）＜0，即有r＜0，再由韦达定理得到tanA＞0，tanB＞0，q＞0，再求tanC，判断tanC＜0，即可得到三角形的形状．

解答： 解：函数f（x）=px²+qx+r（p≠0，p＜r），
满足f（0）＜0，即有r＜0，
又f（-

q

2p

）＞0，
即有p＜r＜0，
则f（x）的图象开口向下，且与x轴有两个交点．
由tanA，tanB为函数f（x）的两个零点，
则tanA•tanB=

r

p

＞0，
tanA+tanB=-

q

p

，
若A，B均为钝角，不满足三角形的条件，
则有tanA＞0，tanB＞0，即有A，B均为锐角，
则q＞0，
tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

-q p

1- r p

=

q

p-r

＜0，
则C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形．
故选C．

点评：本题考查三角形的形状的判断，考查二次方程的韦达定理，考查两角和的正切公式，考查判断能力，属于中档题和易错题．