可以证明，对任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面尝试推广该命题：
（1）设由三项组成的数列a1，a2，a3每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{an}每项均非零，且对任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，数列{an}的前n项和为Sn．求证：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{an}，使得a2012=-2011？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．
【答案】
分析：（1）利用（a
1+a
2+…+a
n）
2=a
13+a
23+…+a
n3，分别取n=1，2，3代入求解即可；
（2）由已知当n≥2时，a
13+a
23+…+a
n3=S
n2，a
13+a
23+…+a
n-13=S
n-12，两式相减，化简可证；
（3）存在，
是一个满足条件的无穷数列．
解答：解：（1）取n=1有a
12=a
13，又a
1≠0，∴a
1=1
取n=2，有（1+a
2）
2=1+a
23，∴a
2=-1或2
当a
2=-1时，同理得a
3=1；
当a
2=2时，同理得a
3=3或-2
综上知，所有满足条件思维数列为1，-1，1；1，2，3；1，2，-2．
（2）由已知当n≥2时，a
13+a
23+…+a
n3=S
n2，
a
13+a
23+…+a
n-13=S
n-12，
两式相减知：a
n3=S
n2-S
n-12=a
n（2a
1+2a
2+…+2a
n-1+a
n），
∵a
n＞0
∴a
n2=2a
1+2a
2+…+2a
n-1+2a
n-a
n∴a
n2=2S
n-a
n∴a
n+12-a
n+1=2S
n，n∈N
*；
（3）存在，
是一个满足条件的无穷数列．
点评：本题以已知命题为前提，尝试推广新命题，考查赋值法．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．
