Question

（2012•姜堰市模拟）可以证明，对任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面尝试推广该命题：
（1）设由三项组成的数列a₁，a₂，a₃每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{a_n}每项均非零，且对任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．求证：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₂=-2011？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³，分别取n=1，2，3代入求解即可；
（2）由已知当n≥2时，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，a₁³+a₂³+…+a_n-1³=S_n-1²，两式相减，化简可证；
（3）存在，an=

n，1≤n≤2011 (-1)n+1•2011，n≥2012

是一个满足条件的无穷数列．

解答：解：（1）取n=1有a₁²=a₁³，又a₁≠0，∴a₁=1
取n=2，有（1+a₂）²=1+a₂³，∴a₂=-1或2
当a₂=-1时，同理得a₃=1；
当a₂=2时，同理得a₃=3或-2
综上知，所有满足条件思维数列为1，-1，1；1，2，3；1，2，-2．
（2）由已知当n≥2时，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
a₁³+a₂³+…+a_n-1³=S_n-1²，
两式相减知：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n），
∵a_n＞0
∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+2a_n-a_n
∴a_n²=2S_n-a_n
∴a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）存在，an=

n，1≤n≤2011 (-1)n+1•2011，n≥2012

是一个满足条件的无穷数列．

点评：本题以已知命题为前提，尝试推广新命题，考查赋值法．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．