Question

2．已知函数f（x）=e^x-xe^x-1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=-xe^x，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由函数f（x）=e^x-xe^x-1的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞），能求出函数f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-xe^x-1，
∴f′（x）=e^x-e^x-xe^x=-xe^x，
由f′（x）=-xe^x=0，解得x=0，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞）．
（2）∵函数f（x）=e^x-xe^x-1的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞），
∴函数f（x）的最大值f（x）_max=f（0）=e⁰-0e⁰-1=0．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．