Question

已知cos(α+

π

4

)=

3

5

，

π

2

≤α＜

3π

2

，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：本题是一个给值求值的题目，根据所给的三角函数值和角的范围以及同角的三角函数关系解题，利用诱导公式变换得到结果，解题过程中角的范围的分析是本题的难点．

解答：解：cos(2α+

π

4

)=cos2αcos

π

4

-sin2αsin

π

4

=

2

2

(cos2α-sin2α)．
∵cos(α+

π

4

)=

3

5

，

π

2

≤α＜

3π

2

，
∴sin(α+

π

4

)=-

1-cos2(α+ π 4 )

=-

4

5

从而cos2α=sin(2α+

π

2

)=2sin(α+

π

4

)cos(α+

π

4

)=-

24

25

，
sin2α=-cos(2α+

π

2

)=1-2cos2(α+

π

4

)=

7

25

∴cos(2α+

π

4

)=

2

2

×(-

24

25

-

7

25

)=-

31 2

50

点评：解法要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”．运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征．