Question

（2013•深圳二模）已知动点 M 到点 F（0，1）的距离与到直线 y=4 的距离之和为 5．
（1）求动点 M 的轨迹 E 的方程，并画出图形；
（2）若直线 l：y=x+m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A、B，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（1）设动点M的坐标为（x，y），根据两点的距离公式结合题意建立关于x、y的等式，化简整理得到x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4），从而得到轨迹是由两个抛物线弧连接而成，其图形如图所示；
（2）根据轨迹E的形状，直线l：y=x+m分别将与抛物线段E₁：y=

1

4

x2（-4≤x≤4）和y=-

1

16

x2+5（（-4≤x≤4）联解，得到直线l与轨迹E有唯一公共点的两个界点处m的值，再将直线l平移进行观察，即可得到实数m的取值范围；
（3）结合（2）的结论，将两个抛物线段E₁与E₂的方程与直线l方程联解，可得交点A．B的横坐标关于m的式子，运用两点间的距离公式算出|AB|=

2

（x_B-x_A）=2

2

（

1+m

+2

9-m

-5）．运用导数研究f（m）=

1+m

+2

9-m

（0≤m＜8）的单调性，即可得到当m=1时，|AB|的最大值为20-10

2

．

解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），根据题意得M的坐标满足

x2+(y-1)2

+|y-4|=5
化简整理，得x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4）
其图形是抛物线y=

1

4

x2和y=-

1

16

x2+5位于-4≤x≤4的部分，如右图所示
（2）设抛物线y=

1

4

x2和y=-

1

16

x2+5位于-4≤x≤4的部分，分别记为
曲线E₁和E₂，可得E₁与E₂的公共点分别为C（-4，4）和D（4，4）
当直线l：y=x+m经过点C（-4，4），m=8
则由

y=x+8 y=- x2 16 +5

，解得

x=-4 y=4

或

x=-12 y=-4

∵点（-12，4）不是抛物线段E₂上的点
∴要使直线l：y=x+m与轨迹E有两个不同的公共点，必须m＜8
当线l：y=x+m与抛物线y=

1

4

x2相切时，联解直线与抛物线方程得切点坐标为（2，1），可得m=-1
因为切点（2，1）在曲线E₁上，所以要使直线l：y=x+m与轨迹E有两个不同的公共点，必须m＞-1．
综上所述，可得实数m的取值范围为（-1，-8）；
（3）当-1≤m＜0时，直线l与轨迹E的两个不同的公共点A、B均在抛物线段E₁上，且0＜|AB|≤OD=4

2

当0≤m＜8时，直线l与轨迹E的两个不同的公共点A、B分别在抛物线段E₁上和抛物线段E₂上，
且A点是直线l与抛物线y=

1

4

x2的两个交点中位于左下方的点，
B点是直线l与抛物线y=-

1

16

x2+5的两个交点中位于右上方的点（如图所示）
由

y=x+m y= x2 4

，解之得x=2±2

1+m

，点A的横坐标为x_A=2-2

1+m

，
由

y=x+m y=- x2 16 +5

，解之得x=-8±4

9-m

，点B的横坐标为x_B=-8+4

9-m

．
∴|AB|=

2

（x_B-x_A）=2

2

（

1+m

+2

9-m

-5）
令f（m）=

1+m

+2

9-m

（0≤m＜8）
由f'（m）=

1

2 1+m

-

1

9-m

=

9-m -2 1+m

2 1+m 9-m

=

5(1-m)

2 1+m 9-m ( 9-m +2 1+m )

∴当m∈[0，1）时，f'（m）＞0，f（m）是单调增函数；当m∈（1，8）时，f'（m）＜0，f（m）是单调减函数
因此，当m=1时，f（m）取得最大值[f（m）]_max=f（1）=5

2

，
即当m=1时，|AB|的最大值为20-10

2

．

点评：本题给出动点M满足的条件，求M的轨迹方程，并讨论了直线l与M的轨迹相交截得弦AB长度最大值．着重考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系、利用导数研究函数的单调性和轨迹方程的讨论等知识，属于中档题．