Question

【题目】已知圆M的圆心为M（﹣1，2），直线y=x+4被圆M截得的弦长为 ，点P在直线l：y=x﹣1上．
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点Q在圆M上，且满足 =4 ，求点P的坐标；
（3）设半径为5的圆N与圆M相离，过点P分别作圆M与圆N的切线，切点分别为A，B，若对任意的点P，都有PA=PB成立，求圆心N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：点M到直线y=x+4的距离d= = ．

∴圆M的半径r= =1．

∴圆M的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=1．

（2）解：∵点Q在圆M上，∴| |=1．

∴| |=4| |=4．

设P（a，b）则 ，解得 或 ．

∴点P坐标为（﹣1．﹣2）或（3，2）．

（3）设N（m，n），P（x，x﹣1），

∵PA，PB分别与圆M，圆N相切，

∴PA2=PM2﹣1，PB2=PN2﹣5．

∵对任意点P，都有PA=PB，

∴（x+1）2+（x﹣3）2﹣1=（x﹣m）2+（x﹣1﹣n）2﹣25恒成立．

整理得：2（m+n﹣1）x+33﹣m2﹣n2﹣2n=0恒成立．

∴ ，解得 或 ．

∴N（5，﹣4）或N（﹣3，4）．

【解析】（1）求出M到直线y=x+4的距离，利用垂径定理计算圆M的半径，得出圆M的标准方程；（2）由|MQ|=1可知|MP|=4，利用两点间的距离公式列方程解出P点坐标；（3）由切线的性质可知PA2=PM2﹣1，PB2=PN2﹣5．设N（m，n），P（x，x﹣1），列出方程，令关于x的方程恒成立得出m，n．