Question

6．已知点A（$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0），直线PA与PB的斜率之积为定值-$\frac{1}{2}$．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）在轨迹E上求一点M，使它到直线l：x-y-2$\sqrt{3}$=0的距离最小．

Answer 1

分析 （1）用坐标表示直线PA与PB的斜率因为直线PA与PB的斜率之积为定值-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{y}{x-\sqrt{2}}•\frac{y}{x+\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$，整理得动点P的轨迹E的方程；
（2）设直线y=x+t与轨迹E相切，联立，求出t，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意$\frac{y}{x-\sqrt{2}}•\frac{y}{x+\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$，
整理得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，所以所求轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1（y≠0）；
（2）设直线y=x+t与轨迹E相切，联立可得3x²+4tx+2t²-2=0，
∴△=16t²-12（2t²-2）=0，
∴t=$±\sqrt{3}$，
∴t=-$\sqrt{3}$，M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）到直线l：x-y-2$\sqrt{3}$=0的距离最小．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．