Question

1．已知a为正实数，函数f（x）=x²-2x+a，且对任意的x∈[0，a]，都有f（x）∈[-a，a]，则实数a的取值范围是（0，2]．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，表示出f（x）的最值，从而求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=（x-1）²+a-1，对称轴x=1，
①0＜a≤1时，f（x）在[0，a]递减，
f（x）_max=f（0）=a，f（x）_min=f（a）=a²-a，
即函数的值域为[a²-a，a]⊆[-a，a]，
∴-a≤a²-a，解得：a∈（0，1]；
②当a∈（1，2]时：f（x）_max=f（0）=a，f（x）_min=f（1）=a-1，
即函数的值域是[a-1，a]⊆[-a，a]，
∴-a≤a-1，解得：a∈（1，2]；
③当a∈（2，+∞）时：f（x）_max=f（a）=a²-a，f（x）_min=f（1）=a-1，
即函数的值域是[a-1，a²-a]⊆[-a，a]，
∴a²-a≤a，解得：a∈∅，
综上：a∈（0，2]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．