Question

（A题）如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点必在直线A₁D₁上其中真命题的编号是

 

（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

分析：①利用线面平行的性质和三棱锥的体积计算公式即可得出；
②利用二面角的定义即可得出；
③利用①的结论及线面角的定义即可判断出；
④通过建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式即可得出．

解答：解：①∵BC₁∥AD₁，BC₁?平面ACD₁，而AD₁?平面ACD₁，∴BC₁∥平面ACD₁．因此P在直线BC₁上运动时，点P到平面ACD₁的距离不变，三棱锥P-ACD₁即A-D₁PC的体积不变，正确；
②P在直线BC₁上运动时，二面角BC₁-AD₁-C大小不变，即二面角P-AD₁-C的大小不变，正确；
③由①可知：P在直线BC₁上运动时，点P到平面ACD₁的距离h不变，而AP随着点P的变化而变化，设AP与平面ACD₁所成的角为θ，
则sinθ=

h

AP

随着AP的改变而改变，因此不正确；
④距离如图所示的空间直角坐标系，设M（x，y，0），不妨设D₁A₁=1，则C₁（0，1，0），D（0，0，1）．
∵|MD|=|MC₁|，∴

x2+y2+1

=

x2+(y-1)2

，解得y=0．
∴点M（x，0，0）．
则M点必在直线A₁D₁上．因此正确．
综上可知：正确命题是①②④．
故答案为①②④．

点评：熟练掌握线面平行的性质和三棱锥的体积计算公式、二面角的定义、线面角的定义、建立空间直角坐标系、两点间的距离公式是解题的关键．