Question

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且·=0，|BC|=2|AC|.

（1）建立适当的坐标系，求椭圆的方程；

（2）如果椭圆上两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直AO，是否总存在实数λ,使=λ?请给出说明.

Answer 1

解：（1）设O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（2，0），设椭圆方程为=1.

∵·=0,又|BC|=2|AC|,

∴△OAC为等腰直角三角形，

∴C（1，±1）.

    将C（1，±1）代入椭圆方程得b²=,即椭圆方程为+y²=1.

（2）不妨取C（1，1），依题意可设PC：y=k（x-1)+1,QC:y=-k(x-1)+1.

∵C(1,1)在椭圆上，x=1是方程（1+3k²）x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0的一个根，

∴x_P·1=,用-k代换x_P中的k得x_Q=,

∴k_PQ==.

∵B(-1,-1),∴k_AB=,∴∥,因此总存在实数λ,使=λ.