Question

椭圆与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为原点），
（1）求的值；
（2）若椭圆离心率在上变化时，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

解：（1）联立方程组
设P（x₁y₁）、Q（x₂y₂），
∵OP⊥OQ∴，即x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁=1-x₁y₂=1-x₂
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
将代入上式得：
∴a²+b²=2a²b²故
（2）∵，∴
由（1）知，∴
∵，∴，
∴，∴
又∵a＞0，∴
故椭圆长轴的取值范围是[，]．
分析：（1）联立方程组，设P（x₁y₁）、Q（x₂y₂），由OP⊥OQ，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=1-x₁y₂=1-x₂，知2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，由此能导出．
（2）由，知，由，知由此能求出椭圆长轴的取值范围．
点评：本题考查椭圆和直线 的位置关系及其应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．