Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，则λ₁+λ₂等于（　　）

• A．-

  9

  25

• B．-

  50

  9

• C．

  50

  9

• D．

  9

  25

Answer 1

分析：设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论．

解答：解：由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）
设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），得P点坐标（0，-4k），
因为

PA

=λ1

AF

，所以（x₁，y₁+4k）=λ₁（4-x₁，-y₁）
因为

PB

=λ2

BF

，所以（x₂，y₂+4k）=λ₂（4-x₂，-y₂）．
得λ₁=

x1

4-x1

，λ₂=

x2

4-x2

．
直线l方程，代入椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，消去y可得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0．
所以x₁+x₂=

200k2

9+25k2

，x₁x₂=

400k2-225

9+25k2

．
所以λ₁+λ₂=

x1

4-x1

+

x2

4-x2

=

4(x1+x2)-2x1x2

16-4(x1+x2)+x1x2

=

4• 200k2 9+25k2 -2• 400k2-225 9+25k2

16-4• 200k2 9+25k2 + 400k2-225 9+25k2

=-

50

9

故选B．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．