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已知椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
,过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,交y轴于P点.设
PA
=λ1
AF
PB
=λ2
BF
,则λ12等于(  )
分析:设出直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合向量条件,即可得到结论.
解答:解:由题意a=5,b=3,c=4,所以F点坐标为(4,0)
设直线l方程为:y=k(x-4),A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),得P点坐标(0,-4k),
因为
PA
=λ1
AF
,所以(x1,y1+4k)=λ1(4-x1,-y1
因为
PB
=λ2
BF
,所以(x2,y2+4k)=λ2(4-x2,-y2).
得λ1=
x1
4-x1
,λ2=
x2
4-x2

直线l方程,代入椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
,消去y可得(9+25k2)x2-200k2x+400k2-225=0.
所以x1+x2=
200k2
9+25k2
,x1x2=
400k2-225
9+25k2

所以λ12=
x1
4-x1
+
x2
4-x2
=
4(x1+x2)-2x1x2
16-4(x1+x2)+x1x2
=
4•
200k2
9+25k2
-2•
400k2-225
9+25k2
16-4•
200k2
9+25k2
+
400k2-225
9+25k2
=-
50
9

故选B.
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知动点P(x,y)在椭圆
x2
25
+
y2
16
=1上,若A点坐标为(1,0),|
AM
|=1且
PM
AM
=0
,则|
PM
|
的最小值是
119
3
119
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知焦点在y轴上的椭圆方程为
x2
25-k
+
y2
k-9
=1
,则k的取值范围为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P是
x2
25
+
y2
9
=1(x≠0,y≠0)
上的动点P,F1、F2是椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上一点,且
F1M
MP
=0
,则|
OM
|
的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
,过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,交y轴于P点.设
PA
=λ1
AF
PB
=λ2
BF
,则λ12等于(  )
A.-
9
25
B.-
50
9
C.
50
9
D.
9
25

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