Question

设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，
（1）求y=f（x）的解析式，并求其单调区间；
（2）用阴影标出曲线y=f（x）与此切线以及x轴所围成的图形，并求此图形的面积．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，
∴，f（2）=
∴，∴a=1，b=3
∴，
∴函数的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
（2）曲线y=f（x）与此切线以及x轴所围成的图形，如图所示

由7x-4y-12=0，可得y=，令y=0，可得x=
∴阴影部分的面积为=（）=-+3ln．
分析：（1）求导函数，利用切线方程，建立方程组，即可求y=f（x）的解析式，从而可得单调区间；
（2）作出函数图象，可得曲线y=f（x）与此切线以及x轴所围成的图形，利用定积分，可求面积．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．