Question

已知定义在区间[-π，

2

3

π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，当x∈[-

π

6

，

2

3

π]时，函数f(x)=Asin(ωx+?)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

)，其图象如图所示
（Ⅰ）求函数y=f（x）在[-π，

2

3

π]的表达式；
（Ⅱ）求方程f(x)=

2

2

的解．
（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）-m|＜2在x∈[-π，

2π

3

]上恒成立；若存在，求出m的取
值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据图象中函数值的最大值判断出A的值，利用函数图象与x轴的交点判断出函数的周期，进而求得ω，把点(

π

6

，1)代入求得φ的值，则当x∈[ -

π

6

，

2

3

π ]时，函数的解析式可得；进而利用函数图象关于直线x=-

π

6

对称利用f(x)=f(-x-

π

3

)求得[-π，

π

6

]的函数解析式，最后综合答案可得．
（Ⅱ）分别看-

π

6

≤x≤

2π

3

和-π≤x＜-

π

6

利用（Ⅰ）中函数的解析式，求得x的值．
（Ⅲ）问题可转化为m-2＜f（x）＜m+2在x∈[-π，

2π

3

]上恒成立，联立方程组利用三角函数的性质求得m的范围．

解答：解：（Ⅰ）x∈[-

π

6

，

2

3

π]，A=1，

T

4

=

2π

3

-

π

6

，T=2π，ω=1
且f（x）=sin（x+φ）过(

π

6

，1)，
∵-

π

2

＜?＜

π

2

∴

π

6

+φ=

π

2

，φ=

π

3

，f(x)=sin(x+

π

3

)
当-π≤x＜-

π

6

时，-

π

6

≤-x-

π

3

≤

2π

3

，f(-x-

π

3

)=sin(-x-

π

3

+

π

3

)
而函数y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，则f(x)=f(-x-

π

3

)
即f(x)=sin(-x-

π

3

+

π

3

)=-sinx，-π≤x＜-

π

6

∴f(x)=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 2π 3 ] -sinx，x∈[-π，- π 6 )

（Ⅱ）当-

π

6

≤x≤

2π

3

时，

π

6

≤x+

π

3

≤π，f(x)=sin(x+

π

3

)=

2

2

x+

π

3

=

π

4

，或

3π

4

，x=-

π

12

，或

5π

12

当-π≤x＜-

π

6

时，f(x)=-sinx=

2

2

，sinx=-

2

2

x=-

π

4

，或-

3π

4

∴x=-

π

4

，-

3π

4

，-

π

12

，或

5π

12

为所求．
（Ⅲ）由条件得：m-2＜f（x）＜m+2在x∈[-π，

2π

3

]上恒成立即

x∈[-π 2π 3 ] [f(x)]min＞m-2 [f(x)]max＜m+2

，由图象可得：

m-2＜0 m+2＞1

∴-1＜m＜2

点评：本题主要考查了利用y=Asin（ωx+∅）的部分图象确定函数的解析式．充分利用了三角函数的定义域，值域，对称性，周期性等性质．