Question

【题目】在直角坐标系xOy，直线l的参数方程是 （t为参数）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C：ρ=4sinθ．
（1）当m=﹣1，α=30°时，判断直线l与曲线C的位置关系；
（2）当m=1时，若直线与曲l线C相交于A，B两点，设P（1，0），且||PA|﹣|PB||=1，求直线l的倾斜角．

Answer 1

【答案】
（1）解：由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

得曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，

所以曲线C是以M（2，0）为圆心，2为半径的圆，

由直线l的参数方程为 （t为参数），

得直线l的直线坐标方程为 ．

由圆心M到直线l的距离d= = ＜2，

故直线l与曲线C相交

（2）解：直线l为经过点P（1，0）倾斜角为α的直线，

由 ，代入（x﹣2）2+y2=4，整理得，t2﹣2tcosα﹣3=0，△=（2cosα）2+12＞0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=2cosα，t1t2=﹣3＜0，

所以t1，t2异号．则||PA|﹣|PB||=|t1+t2|=|2cosα|=1，

所以cosα=± ，又α∈[0，π），

所以直线l的倾斜角α= 或

【解析】（1）由题意利用ρ2=4ρsinθ，ρ2=x2+y2 ， 将曲线C化为普通方程，将直线l的参数t消去为普通方程，圆心M到直线l的距离d与半径比较可得直线l与曲线C的位置关系．（2）设A，B对应的参数分别为t1 ， t2 ， 利用参数的几何意义建立关系，可得直线l的倾斜角．